(* Define the covariance matrix *)
Cij={{(Subscript[c, 11]),(Subscript[c, 12])},{(Subscript[c, 12]),(Subscript[c, 22])}};
(* Define the Fisher matrix // It's just the inverse *)
Fij=Inverse[Cij]

(* Define the variables and the values at the best-fit *)
(Subscript[a, i])={(Subscript[a, 1]),(Subscript[a, 2])};
(Subscript[a, min])={(Subscript[a, min1]),(Subscript[a, min2])};

(* Define the (χ^2) //Assume for simplicity that the minimum is ((Subscript[χ, min])^2)=0 *)
chi2=((Subscript[a, i])-(Subscript[a, min])).Fij.((Subscript[a, i])-(Subscript[a, min]))//FullSimplify;

(* Calculate the normalization by integrating in (-∞,∞) *)
norm=1/Integrate[Exp[-chi2/2],{(Subscript[a, 1]),-∞,∞},{(Subscript[a, 2]),-∞,∞},Assumptions:>Re[(1/(Subscript[c, 11]))]≥0]//PowerExpand

(* Calculate the various moments *)
(* <(Subscript[a, 1])> *)
t1=Integrate[norm Exp[-chi2/2](Subscript[a, 1]),{(Subscript[a, 1]),-∞,∞},{(Subscript[a, 2]),-∞,∞},GenerateConditions->False]//PowerExpand
(* <((Subscript[a, 1])^2)> *)
t2=Integrate[norm Exp[-chi2/2](Subscript[a, 1])^2,{(Subscript[a, 1]),-∞,∞},{(Subscript[a, 2]),-∞,∞},GenerateConditions->False]//PowerExpand
(* <(Subscript[a, 2])> *)
t3=Integrate[norm Exp[-chi2/2](Subscript[a, 2]),{(Subscript[a, 1]),-∞,∞},{(Subscript[a, 2]),-∞,∞},GenerateConditions->False]//PowerExpand
(* <((Subscript[a, 1])^2)> *)
t4=Integrate[norm Exp[-chi2/2](Subscript[a, 2])^2,{(Subscript[a, 1]),-∞,∞},{(Subscript[a, 2]),-∞,∞},GenerateConditions->False]//PowerExpand
(* <(Subscript[a, 1])*(Subscript[a, 2])> *)
t5=Integrate[norm Exp[-chi2/2](Subscript[a, 1]) (Subscript[a, 2]),{(Subscript[a, 1]),-∞,∞},{(Subscript[a, 2]),-∞,∞},GenerateConditions->False]//PowerExpand

(* Calculate the covariance matrix *)
(* (Subscript[C, 11])=((Subscript[σ, a1])^2)=<((Subscript[a, 1])^2)>-<(Subscript[a, 1])>^2 *)
t2-t1^2//FullSimplify
(* (Subscript[C, 22])=((Subscript[σ, a2])^2)=<((Subscript[a, 2])^2)>-<(Subscript[a, 2])>^2 *)
t4-t3^2//FullSimplify
(* (Subscript[C, 12])=<(Subscript[a, 1])*(Subscript[a, 2])>-<(Subscript[a, 1])>*<(Subscript[a, 2])> *)
t5-t1 t3